La filosofía de Pitágoras se desarrolla en una doble vertiente: una místico-religiosa y otra matemático-científica.

Al ser liberado, no regresó a su isla natal sino que se estableció en Crotona, al sureste de Italia. Es posible que se viera obligado a ello por causas políticas. Sus enseñanzas fueron muy influyentes, y creo la secta de los Matematikoi, entendida ésta como un grupo reducido de pupilos, auténticos elegidos, a los que explicaba sus saberes bajo la condición inexcusable del secreto, una idea muy característica tanto del Antiguo Egipto como de Babilonia. Obligaba a todos sus pupilos –llamados matematikoi o también pitagóricos– a guardar un riguroso hermetismo sobre lo que aprendían. “No todo debe ser enseñado a todos” era una de sus principales máximas.

Entre las investigaciones matemáticas de los pitagóricos se encuentran sus estudios de los números pares e impares, primos y de los cuadrados.

Cultivaron el concepto de número, que llegó a ser para ellos el principio crucial de toda proporción, orden y armonía en el universo. A través de estos estudios, establecieron una base científica para las matemáticas.

En geometría descubrieron el teorema de la hipotenusa, conocido como teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. En astronomía los pitagóricos significaron un avance en el pensamiento científico clásico, ya que fueron los primeros en considerar la tierra como un globo que gira junto a otros planetas alrededor de un fuego central. Explicaron el orden armonioso de todas las cosas como cuerpos moviéndose de acuerdo a un esquema numérico, en una esfera de la realidad sencilla y omnicomprensiva. Pensaban que los cuerpos celestes estaban separados unos de otros por intervalos correspondientes a longitudes de cuerdas armónicas y mantenían que el movimiento de las esferas da origen a un sonido musical, la llamada armonía de las esferas.

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