Sistema de Numeração

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• Os sistemas numéricos são fundamentais para a representação e manipulação de valores matemáticos em diversas áreas do conhecimento, especialmente na computação e na eletrônica. Eles permitem contar, medir e realizar operações matemáticas de forma estruturada. Dentre os principais sistemas numéricos, destacam-se o sistema decimal, utilizado na vida cotidiana, e os sistemas binário, octal e hexadecimal, amplamente empregados em computação. Cada um desses sistemas possui sua própria base e um conjunto distinto de regras para representação e conversão de números.

1. Sistema Numérico

   Annotations:

   • m sistema numérico, conforme definição de Tocci, Widmer e Moss (2018), é um modelo estruturado para a representação de números, utilizando símbolos ou dígitos específicos de maneira consistente. Ele estabelece um padrão único para expressar valores matemáticos, refletindo tanto a estrutura aritmética quanto a algébrica dos números. Além disso, os sistemas numéricos são essenciais para a realização de operações matemáticas fundamentais, como adição, subtração, multiplicação e divisão, permitindo cálculos precisos e aplicações em diversas áreas do conhecimento. O valor de um dígito dentro de um número é determinado por três fatores principais: •o próprio dígito;•sua posição dentro do número;•a base do sistema numérico utilizado.
   1. Numérico Decimal

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      • O sistema de numeração decimal é o mais amplamente utilizado no mundo e tem sua base no número 10, pois emprega os dígitos de 0 a 9 para representar quantidades. Sua estrutura posicional permite que cada dígito tenha um valor diferente dependendo de sua posição dentro do número. Assim, os números são organizados em potências de 10, em que cada casa representa uma unidade, dezena, centena, milhar, e assim por diante. Essa característica torna o sistema decimal intuitivo e eficiente para cálculos diários e aplicações matemáticas.
      1. Funcionamento

         Annotations:

         • Tocci, Widmer e Moss (2018) descrevem que o funcionamento do sistema decimal se baseia no princípio da posição, em que cada dígito tem um valor correspondente a uma potência de 10. Por exemplo, no número 1.457, o valor de cada dígito é determinado da seguinte forma: (1 × 103) + (4 × 102) + (5 × 101) + (7 × 100)1.000 + 400 + 50 + 7 = 1.457
      2. Aplicações

         Annotations:

         • A origem do sistema decimal remonta às civilizações antigas, especialmente aos babilônios, egípcios e chineses, que desenvolveram diferentes métodos para representar quantidades. No entanto, foi na Índia que surgiu o sistema decimal moderno, com a introdução do conceito de valor posicional e do zero como número, por volta do século V d.C. Mais tarde, os matemáticos árabes adotaram e aprimoraram esse sistema, disseminando-o pela Europa e pelo mundo por meio das trocas comerciais e do desenvolvimento científico (Olmsted, 2018).
   2. Numérico Binário

      Annotations:

      • Tanenbaum (2016) descreve que o sistema numérico binário, também conhecido como sistema de base 2, é um dos mais fundamentais na matemática e na computação. Ele utiliza apenas dois dígitos, 0 e 1, para representar qualquer valor numérico. Essa simplicidade torna o sistema ideal para circuitos eletrônicos e computadores, pois os dispositivos digitais operam com dois estados distintos: ligado (1) e desligado (0). Assim, os números binários são essenciais para armazenar, processar e transmitir informações no mundo digital. Segundo Tocci, Widmer e Moss (2018), os números binários são formados pela combinação dos dígitos 0 e 1, seguindo um princípio semelhante ao sistema decimal, mas com uma base menor. Cada posição em um número binário representa uma potência de 2, assim como no sistema decimal cada posição representa uma potência de 10. Por exemplo, o número binário 110101 pode ser convertido para o sistema decimal como:(1 × 25) + (1 × 24) + (0 × 23) + (1 × 22) + (0 × 21) + (1 × 20) = 53
      1. Conversões

         Annotations:

         • A conversão de bases de sistemas numéricos é fundamental para muitos assuntos presentes na computação. Para converter um número decimal para binário, utiliza-se o método de sucessivas divisões por 2, anotando os restos da divisão até que o quociente seja zero. Já a conversão de binário para decimal envolve a soma das potências de 2, conforme exemplificado anteriormente. Além disso, conversões entre binário e os sistemas octal e hexadecimal podem ser feitas agrupando os dígitos binários em conjuntos de três ou quatro, respectivamente.
      2. Aplicações

         Annotations:

         • O sistema binário tem aplicações amplas em tecnologia e engenharia. Ele é usado no armazenamento e processamento de dados em computadores, na programação de microcontroladores, no funcionamento de redes de comunicação e até mesmo na criptografia. Em circuitos digitais, portas lógicas operam diretamente com valores binários para realizar operações básicas, formando a base do processamento computacional.
   3. Numeração Octal

      Annotations:

      • O sistema de numeração octal é um sistema de base 8 que utiliza os dígitos de 0 a 7 para representar valores numéricos. Isso significa que cada posição de um número octal representa uma potência de 8, assim como no sistema decimal cada posição representa uma potência de 10. Esse sistema é amplamente utilizado em computação e eletrônica digital devido à sua relação direta com o sistema binário, facilitando a conversão e a compactação de dados.
      1. Conversões

         Annotations:

         • Uma das principais vantagens do sistema octal é a simplicidade na conversão de números binários. Segundo Tocci, Widmer e Moss (2018), como a base 8 é uma potência de 2 (8 = 238 = 2^38 = 23), cada dígito octal pode ser representado por um grupo de três dígitos binários. Por exemplo, o número binário 101110 pode ser convertido para octal agrupando os bits da direita para a esquerda: 101 110, que corresponde ao número octal 56. Esse método torna o octal uma forma mais compacta de representar informações digitais sem perder a precisão dos dados. A conversão de um número octal para decimal segue um princípio semelhante ao da conversão de binário para decimal. Cada dígito octal é multiplicado por uma potência de 8, de acordo com sua posição. Por exemplo, o número octal 345 pode ser convertido para decimal assim: (3 × 82) + (4 × 81) + (5 × 80)(3 × 64) + (4 × 8) + (5 × 1) = 229
      2. Aplicações

         Annotations:

         • O sistema octal tem diversas aplicações em tecnologia. Ele já foi amplamente utilizado na programação de computadores antigos, pois alguns sistemas operacionais e processadores trabalhavam diretamente com números em base 8. Além disso, ainda pode ser encontrado em sistemas embarcados, microcontroladores e algumas linguagens de programação, pois facilita a representação de permissões de arquivos em sistemas Unix e Linux.
   4. Numeração Hexadecimal

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      • O sistema de numeração hexadecimal é um sistema de base 16 que utiliza os dígitos de 0 a 9 e as letras de A a F para representar valores numéricos. Isso significa que, além dos dez dígitos tradicionais do sistema decimal, são adicionadas seis letras (A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 e F = 15) para completar a contagem. Segundo Brookshear (2013), esse sistema é amplamente utilizado na computação, pois permite representar grandes volumes de dados de maneira mais compacta e eficiente, facilitando a leitura e a manipulação de informações digitais. A estrutura do sistema hexadecimal segue o princípio da numeração posicional, em que cada dígito tem um valor baseado em potências de 16 (Dachi; Haupt, 2018). Por exemplo, o número hexadecimal 2F3 pode ser convertido para decimal da seguinte maneira: (2 × 162) + (F × 161) + (3 × 160)(2 × 256) + (15 × 16) + (3 × 1)512 + 240 + 3 = 755
      1. Conversões

         Annotations:

         • Segundo Tanenbaum (2016), uma das razões para o uso frequente do hexadecimal na computação é sua relação direta com o sistema binário. Como 16 é uma potência de 2 (16 = 24), cada dígito hexadecimal pode ser representado por exatamente quatro dígitos binários. Por exemplo, o número hexadecimal A3 corresponde ao binário 1010 0011. Isso facilita a conversão entre os sistemas e torna o hexadecimal uma forma eficiente de exibir valores binários, especialmente em endereços de memória, manipulação de registros e na definição de instruções de baixo nível em linguagens de montagem (Assembly).
      2. Aplicações

         Annotations:

         • O sistema hexadecimal é amplamente empregado em diversas aplicações tecnológicas. Ele é utilizado na programação de computadores, na definição de endereços de memória, na codificação de cores em HTML e CSS (como #FF5733, que representa uma cor RGB) e no armazenamento de informações em linguagens de baixo nível. Além disso, é comum em sistemas embarcados e microcontroladores, em que a manipulação direta de bits e bytes é essencial para a otimização de desempenho e consumo de energia.
2. Operações Numéricas

   Annotations:

   • A matemática é composta por diversos elementos fundamentais e as “operações” são um dos principais. Elas envolvem a manipulação de números ou variáveis segundo certas regras, um processo aplicado no cotidiano, como contar dinheiro, medir ingredientes ou calcular o tempo.
   1. Operações Numéricas Fundamentais
      1. Adição

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         • Combina dois números para formar um número maior. Por exemplo: 3 + 2 = 5.
      2. Subtração

         Annotations:

         • Remove um número de outro. Por exemplo: 7 – 2 = 5.
      3. Multiplicação

         Annotations:

         • Representa a soma repetida de um mesmo número. Por exemplo: 3 × 4 = 12.
      4. Divisão

         Annotations:

         • Distribui um número em partes iguais. Por exemplo: 8 ÷ 2 = 4.
   2. Propriedades das Operações
      1. Propriedade Comutativa

         Annotations:

         • A ordem dos números não altera o resultado da adição e da multiplicação. Por exemplo: 2 + 3 = 3 + 2 e 2 × 3 = 3 × 2.
      2. Propriedade Associativa

         Annotations:

         • O modo como os números são agrupados não afeta o resultado na adição e na multiplicação. Por exemplo: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4).
      3. Propriedade Distributiva

         Annotations:

         • A operação de multiplicação pode ser distribuída sobre a adição. Por exemplo: 4 × (3 + 2) = (4 × 3) + (4 × 2).
   3. Equações

      Annotations:

      • Uma equação é definida como uma expressão matemática que estabelece uma relação de igualdade entre os dois blocos. Por exemplo, na equação 3x − 2 = 43x – 2 = 43x − 2 = 4 estão presentes operações de multiplicação e subtração. Escrever equações é uma habilidade essencial para traduzir problemas do cotidiano para a linguagem matemática. Por exemplo, se um livro custa R$ 7 e você deseja comprar 3 unidades, a equação correspondente seria 3 × 7 = y, onde y representa o custo total.
      1. BODMAS

         Annotations:

         • O princípio fundamental do BODMAS é que as operações devem ser realizadas na ordem correta, priorizando parênteses e expoentes antes de multiplicações, divisões, adições e subtrações, garantindo precisão e consistência nos cálculos matemáticos. Podemos detalhar o método através da sequência: •Parênteses (brackets – B).•Ordem (expoentes e raízes – O).•Divisão e multiplicação (D e M).•Adição e subtração (A e S). As operações de divisão e multiplicação possuem prioridades similares, assim como adição e subtração. Quando não há indicação clara, resolvemos da esquerda para a direita. Podemos aplicar na prática através do exemplo:20 × (100 + 1) •Primeiro, resolvemos o que está entre parênteses: 100 + 1 = 101.•Depois, multiplicamos: 20 × 101 = 2.020. Aplicando a regra corretamente, garantimos o resultado esperado.
3. Conversão de Decimal para Binário

   Annotations:

   • Rookshear (2013) demostra que a conversão de números decimais para binários segue um processo de sucessivas divisões por 2, registrando os restos até que o quociente final seja 0. Esse método é fundamental na computação, pois os sistemas digitais operam em linguagem binária. A conversão permite representar qualquer número decimal em um formato compreensível para máquinas. Podemos segmentar o processo em alguns passos, descritos a seguir: •Realizar a divisão do número decimal por 2 e anotar o quociente e o resto. •Repetir o processo usando o quociente obtido na etapa anterior, novamente dividindo por 2 e registrando os restos. •Continuar esse procedimento até que o quociente seja igual a 0. •Escrever os restos em ordem inversa, do último para o primeiro. O bit menos significativo (LSB – least significant bit) será o primeiro resto encontrado, e o bit mais significativo (MSB – most significant bit) será o último.Vamos converter o número decimal 14 para binário: •14 ÷ 2 = 7 → resto = 0 •7 ÷ 2 = 3 → resto = 1 •3 ÷ 2 = 1 → resto = 1 •1 ÷ 2 = 0 → resto = 1 (parada, pois o quociente chegou a 0)
4. Conversão de fração decimal para número binário

   Annotations:

   • A conversão da parte fracionária de um número decimal para binário segue um método específico, diferente da conversão da parte inteira. Esse processo consiste em multiplicar sucessivamente a fração por 2 e registrar os valores inteiros obtidos. O procedimento ocorre da seguinte forma: •Multiplicamos a parte fracionária por 2. •Anotamos a parte inteira do resultado. •Repetimos o processo com a nova parte fracionária até que ela se torne zero ou atinjamos o número desejado de bits.O resultado é a sequência de partes inteiras registradas, representando a parte fracionária do número no sistema binário.
5. Conversão de Binário para Decimal

   Annotations:

   • A conversão de números binários para o sistema decimal é essencial para facilitar sua leitura e interpretação, especialmente quando lidamos com valores binários extensos. Esse processo pode ser realizado por dois métodos principais: •método de notação posicional;•método de duplicação.
   1. Método de Notação Posicional

      Annotations:

      • O método de notação posicional baseia-se no princípio de que o valor de cada dígito em um número depende de sua posição e do peso correspondente. Para converter um número binário para decimal utilizando esse método, seguimos os passos a seguir: •Multiplicamos cada dígito do número binário pela potência de 2 correspondente à sua posição, começando da direita para a esquerda. O expoente inicia em 0 e aumenta em 1 a cada posição para a esquerda. •Somamos todos os valores obtidos para obter o equivalente decimal do número binário. •Vamos converter o número binário 1011 para decimal usando a notação posicional:(1 × 23) + (0 × 22) + (1 × 21) + (1 × 20) 8 + 0 + 2 + 1 = 1.110 Portanto, o número binário 1.011 equivale a 1110 no sistema decimal.
   2. Método de Duplicação

      Annotations:

      • Tokheim (2013) descreve o método de duplicação que é uma abordagem alternativa baseada na multiplicação sucessiva do número decimal acumulado por 2 e na adição do próximo dígito binário. Os passos são os seguintes: •Começamos com o primeiro dígito binário à esquerda (MSB – most significant bit) como o valor inicial. •Multiplicamos esse valor por 2 e somamos o próximo dígito binário. •Repetimos esse processo até alcançar o último dígito binário.Vamos converter o número binário 1011 para decimal usando o método de duplicação:•Pegamos o primeiro dígito: 1. •Multiplicamos por 2 e somamos o próximo dígito: (1 × 2) + 0 = 2. •Multiplicamos por 2 e somamos o próximo dígito: (2 × 2) + 1 = 5. •Multiplicamos por 2 e somamos o próximo dígito: (5 × 2) + 1 = 11. Resultado é 11
6. Conversão de Decimal para Hexadecimal

   Annotations:

   • Ao realizar a conversão de um número do sistema decimal (base 10) para o sistema hexadecimal (base 16), é fundamental compreender a base do número e seguir um procedimento que envolve divisão sucessiva. O número decimal precisa ser dividido por 16 repetidamente até que o quociente seja zero. 1- Divida o número decimal por 16 e anote o resto dessa divisão. 2- Divida o quociente obtido por 16. Repita esse processo até que o quociente seja igual a zero. 3- Quando o resto for entre 10 e 15, utilize as letras A, B, C, D, E, F para representar os valores 10, 11, 12, 13, 14, 15, respectivamente. 4- Organize os restos de forma inversa (do último para o primeiro). 5- O número obtido, após a organização dos restos, será o número hexadecimal equivalente.
7. Conversão de hexadecimal para decimal

   Annotations:

   • No caso da conversão de um número hexadecimal para decimal, o processo consiste em expandir o número hexadecimal como uma soma de potências de base 16. Segundo Tokheim (2013), cada dígito do número hexadecimal é multiplicado pelo valor da potência de 16 correspondente à sua posição, contada da direita para a esquerda, começando da posição zero. O resultado dessa soma fornece o equivalente decimal do número hexadecimal. A seguir, apresentamos um exemplo prático para ilustrar esse processo: Converter 7CF (hex) para decimal. Solução: O número hexadecimal fornecido é 7CF. No sistema hexadecimal, 7 = 7 C = 12 F = 15 Para converter isso em um sistema numérico decimal, multiplique cada dígito pelas potências de 16, começando pela posição das unidades do número. 7CF = (7 × 162) + (12 × 161) + (15 × 160)= (7 × 256) + (12 × 16) + (15 × 1)= 1792 + 192 + 15= 1999